函数周期性结论总结
①
f(x+a)=-f(x)
T=2a
②
f(x+a)=±
T=2a
③
f(x+a)=f(x+b)
T=|a-b|
证明：
令x=x-b
得
f(x-b+a)=f(x-b+b)
f(x-b+a)=f(x)
根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT)
得
T=-b+a
即a-b
④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a
证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)
证明：因为
偶函数,所以
f(-x)=f(x)
因为
关于x=a对称
所以
f(a+x)=f(a-x)
(对称性质）设
x=x+a
所以
f(x+2a)=f(x)
所以
周期T=2a)
⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a
证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)
根据①可知T=2·2a=4a
证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)
令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)
又f(x)=
-
f(-x)故f(x)=
-
f(x+2a)
代换x=x+2a得：
f(x+2a)=
-
f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a
⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)
有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)
f(x+2a)=-f(x-a)
换元：令x-a=t
那么x=a+t
f(t+3a)=-f(t)
根据①可知T=6a
⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|
证明：f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)
f(2b-x)=f(x)
假设a＞b
(当然假设a＜b也可以同理证明出)
T=2(a-b)
现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可
f(x+2a-2b)
关于直线x=a对称
=f[a+(x+a-2b)]
=f[a-(x+a-2b)]
关于直线x=b对称
=f(2b-x)
=f(x)
⑧f(x)的图像关于(a,0)
(b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)
证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)
f(b+x)=-f(b-x)
f(2b-x)=-f(x)
f(x+2a-2b)
=f[a+(x+a-2b)]
=-f[a-(x+a-2b)]
=-f(2b-x)
=f(x)