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MATHEMATICS
函数奇偶性练习（内含答案）一、选择题
1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（
）A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（
）A．，b＝0
B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0
D．a＝3，b＝0
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（
）A．y＝x（x－2）B．y
＝x（｜x｜－1）C．y
＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（
）A．－26
B．－18
C．－10
D．10
5．函数是（
）A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（
）A．最小值－5
B．最大值－5
C．最小值－1
D．最大值－3
二、填空题
7．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．
8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．
10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．
三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．
12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．
函数的奇偶性练习参考答案
1．
解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，为奇函数，∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·满足奇函数的条件．
答案：A
2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．
又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．
3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．
∴即f（x）＝x（|x|－2）答案：D
4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．
答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．
答案：B
6．解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．
又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，∴f（x）－2有最大值3．
∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．
答案：C
7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．
9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可得，联立，∴．
答案：
10．答案：0
11．答案：
12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．
13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．
因此，点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．
14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．
点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．
15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．
又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
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