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八年级数学下册第一单元测试题及答案
一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；
②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最短边是底边；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；
⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（）A.B.C.D.3.如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（）A.30°B.36°C.45°D.70°
4.（2015湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或12
5.如图，已知，，，下列结论：
①；
②；
③；
④△≌△．
其中正确的有（
）A.1个B.2个
C.3个D.4个
6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（）A.5cmB.6cmC.cmD.8cm
7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（
）A.B.C.D.三个答案都是
8.（2015陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（
）A.2个B.3个C.4个D.5个
9.已知一个直角三角形的周长是2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.D.1
10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果cm，那么△的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.13.（2015四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________，_________.16.(2015江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题（共46分）19.（6分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA
的长.21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.求证：.22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若，求BE的长.23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
第24题图
24.（8分）（2015陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．
参考答案
1.B解析：只有②④正确.2.A解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴
∴BC边上的高=
∵AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h，则解得
解得故选A．
3.B解析：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以所以
4.C解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C解析：因为，所以△≌△（），所以，所以，即故③正确.又因为，所以△≌△（ASA），所以，故①正确.由△≌△，知，又因为，所以△≌△，故④正确.由于条件不足，无法证得②
故正确的结论有：①③④.6.D解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.又因为最短边cm，则最长边cm.7.D解析：添加A选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等；
添加B选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D．
8.D解析：在△ABC中，∵∠A=36°，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD＝36°+36°=72°，∴∠C＝∠CDB，∴△ABD，△CBD都是等腰三角形.∴BC=BD.∵BE=BC，∴BD=BE，∴△EBD是等腰三角形，∴∠BED＝=＝72°.在△AED中，∵∠A=36°，∠BED＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝∠BED-∠A＝72°-36°＝36°，∴∠ADE=∠A=36°，∴△AED是等腰三角形.∴图*有5个等腰三角形.9.B解析：设此直角三角形为△ABC，其中
因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以
又因为直角三角形的周长是，所以.两边平方，得，即.由勾股定理知，所以，所以.10.D解析：因为垂直平分，所以.所以△的周长（cm）.11.100°解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC，得AO所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，所以∠OAB=∠OBA=×50°=25°，得∠BOA=∠COA=
∠BOC=360°-∠BOA-∠COA=100°.所以∠OBC=∠OCB==40°.由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.12.直角解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三
角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.15解析：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因为AB＝AC，所以∠ABC＝（180°－50°）÷2＝65°.因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝65°－50°＝15°.14.20cm解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.15.1∶3解析：因为，F是AB的中点，所以.在Rt△中，因为，所以.又，所.16.4∶3解析：如图所示，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M和点N.∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN.∵AB×DM，AC×DN，∴.第16题答图
17.解析:∵∠BAC=120，AB=AC，∴∠B=∠C=
∵AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD=CD.∴
∴
18.85解析:∵∠BDM=180°-∠ADF-∠FDE=180°-100°-30°=50°，∴∠BMD=180°-∠BDM-∠B=180°-50°-45°=85°.19.证明：∵，∴∥，∴.又∵为∠的平分线，∴，∴，∴.20.解：应用：若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴
∴
∴
与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.若PA＝PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.探究：若PB＝PC，设PA＝x，则x2+32=(4-x)2，∴x＝，即PA＝.若PA＝PC，则PA＝2.若PA＝PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA＝2或.21.证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，过点D作于点F.因为BD平分∠ABC，所以.在Rt△EAD和Rt△FCD中，所以Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）.所以∠=∠.因为∠∠80°，所以∠.22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠，即∠∠.在△和△中，因为
所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，，故.23.解：，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.24.证明：∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠EAC＝∠B.又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD＝CE.25.证明：∵，∴∠∠．
∵于点，∴∠∠．
∴∠∠∠∠．∴∠∠．
∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.